NEA · Kapitel 17 · Einheit 4

Abtasttheorem

Folien

Sehen wir uns nun den Prozess des Samplings mal etwas genauer an und rufen uns noch einmal das vorgenannte Beispiel der Kamera, die in bestimmten Abständen Bilder einer Szene aufnimmt, ins Gedächtnis. Nehmen wir zum Beispiel an, dass unsere Kamera 24 Bilder pro Sekunde einer bestimmten Szene aufnimmt. Wenn man sich nun z. B. vorstellt, dass wir einen Läufer beim Laufen filmen, so werden wir feststellen, dass zwischen den einzelnen Bildern immer eine ruckartige Bewegung der Beine und des Körpers unseres Läufers gegenüber dem vorigen Bild stattfindet. Lassen wir die Bilder zeitlich schnell hintereinander ablaufen, entsteht ein optisch kontinuierlicher Bewegungsablauf. Die Information, die wir bei 24 Bildern pro Sekunde erfassen, ist jedoch zeitlich begrenzt (merke: zeitdiskret). Was wäre wenn nun zwischen 2 aufeinanderfolgenden Bildern plötzlich eine Fliege schnell vor der Linse unserer Kamera hindurchfliegt? Würden wir dies noch wahrnehmen können? Dies hängt davon ab, ob die Fliege den richtigen Zeitpunkt zwischen zwei Bildern für ihren Durchflug wählt. Würde sie erst nach Aufnahme eines Bildes in den Sichtbereich der Kamera kommen und diesen vor Aufnahme des darauffolgenden Bildes bereits wieder verlassen haben, so könnten wir dieses Ereignis in den von uns aufgenommenen Bildern nicht nachvollziehen. Es bliebe uns Information verborgen.

<script> // ============================================================ // Signal- und Darstellungsparameter // ============================================================ const F_SIG = 1.0; // Signalfrequenz (normiert auf 1) const T_SHOW = 3.0; // Angezeigte Zeitdauer in Perioden const N_DRAW = 1000; // Stützpunkte für analoge Kurve // Sinc-Funktion (normierte Version: sinc(u) = sin(πu)/(πu)) function sinc(u) { if (Math.abs(u) < 1e-10) return 1.0; return Math.sin(Math.PI * u) / (Math.PI * u); } // Originalsignal function signal(t) { return Math.sin(2 * Math.PI * F_SIG * t); } // Whittaker-Shannon-Rekonstruktion function reconstruct(t, samples, fs) { let sum = 0; for (let n = 0; n < samples.length; n++) { sum += samples[n].y * sinc(fs * t - n); } return sum; } // ============================================================ // Canvas-Hilfsklasse // ============================================================ class Plot { constructor(canvas, yMin=-1.3, yMax=1.3) { this.canvas = canvas; this.yMin = yMin; this.yMax = yMax; this.resize(); } resize() { const dpr = window.devicePixelRatio || 1; const rect = this.canvas.getBoundingClientRect(); this.canvas.width = rect.width * dpr; this.canvas.height = this.canvas.offsetHeight * dpr; this.ctx = this.canvas.getContext('2d'); this.ctx.scale(dpr, dpr); this.W = rect.width; this.H = this.canvas.offsetHeight; this.padL = 44; this.padR = 12; this.padT = 10; this.padB = 22; this.plotW = this.W - this.padL - this.padR; this.plotH = this.H - this.padT - this.padB; } // map t∈[0,T_SHOW] to pixel x tx(t) { return this.padL + (t / T_SHOW) * this.plotW; } // map y∈[yMin,yMax] to pixel y ty(y) { return this.padT + (1 - (y - this.yMin) / (this.yMax - this.yMin)) * this.plotH; } clear() { const ctx = this.ctx; ctx.clearRect(0, 0, this.W, this.H); // background ctx.fillStyle = '#fafafa'; ctx.fillRect(this.padL, this.padT, this.plotW, this.plotH); // grid lines ctx.strokeStyle = '#e8e8e8'; ctx.lineWidth = 1; for (let v of [-1, -0.5, 0, 0.5, 1]) { const py = this.ty(v); ctx.beginPath(); ctx.moveTo(this.padL, py); ctx.lineTo(this.padL + this.plotW, py); ctx.stroke(); } // time grid for (let k = 0; k <= T_SHOW; k++) { const px = this.tx(k); ctx.beginPath(); ctx.moveTo(px, this.padT); ctx.lineTo(px, this.padT + this.plotH); ctx.stroke(); } // axes ctx.strokeStyle = '#aaa'; ctx.lineWidth = 1; ctx.strokeRect(this.padL, this.padT, this.plotW, this.plotH); // zero line ctx.strokeStyle = '#bbb'; ctx.lineWidth = 1.5; const y0 = this.ty(0); ctx.beginPath(); ctx.moveTo(this.padL, y0); ctx.lineTo(this.padL + this.plotW, y0); ctx.stroke(); // y-axis labels ctx.fillStyle = '#888'; ctx.textAlign = 'right'; for (let v of [-1, 0, 1]) { ctx.fillText(v.toFixed(0), this.padL - 4, this.ty(v) + 3.5); } // x-axis labels ctx.textAlign = 'center'; ctx.fillStyle = '#888'; for (let k = 0; k <= T_SHOW; k++) { ctx.fillText(k + 'T', this.tx(k), this.padT + this.plotH + 14); } } drawLine(points, color='#47ABE8', lw=2) { const ctx = this.ctx; ctx.strokeStyle = color; ctx.lineWidth = lw; ctx.lineJoin = 'round'; ctx.beginPath(); for (let i = 0; i < points.length; i++) { const px = this.tx(points[i].t); const py = this.ty(points[i].y); if (i === 0) ctx.moveTo(px, py); else ctx.lineTo(px, py); } ctx.stroke(); } drawStems(samples, color='#FE756C') { const ctx = this.ctx; const y0 = this.ty(0); // Draw vertical stem lines ctx.strokeStyle = color; ctx.lineWidth = 1.5; for (const s of samples) { if (s.t < 0 || s.t > T_SHOW) continue; const px = this.tx(s.t); const py = this.ty(s.y); ctx.beginPath(); ctx.moveTo(px, y0); ctx.lineTo(px, py); ctx.stroke(); } // Draw sample dots on top ctx.fillStyle = color; ctx.strokeStyle = '#fff'; ctx.lineWidth = 1.5; for (const s of samples) { if (s.t < 0 || s.t > T_SHOW) continue; const px = this.tx(s.t); const py = this.ty(s.y); ctx.beginPath(); ctx.arc(px, py, 4.5, 0, 2*Math.PI); ctx.fill(); ctx.stroke(); } } } // ============================================================ // Globale Plot-Objekte // ============================================================ let plotOrig, plotSamp, plotRecon; function initPlots() { plotOrig = new Plot(document.getElementById('canvasOriginal')); plotSamp = new Plot(document.getElementById('canvasSampled')); plotRecon = new Plot(document.getElementById('canvasRecon')); } // ============================================================ // Haupt-Render-Funktion // ============================================================ function render(fs) { // --- 1. Abtastwerte erzeugen --- const Ts = 1 / fs; // Abtastintervall (in Perioden des Signals) const nSamples = Math.floor(T_SHOW * fs) + 2; const samples = []; for (let n = 0; n < nSamples; n++) { const t = n * Ts; samples.push({ t, y: signal(t) }); } // --- 2. Analoge Kurve erzeugen --- const analogPts = []; for (let i = 0; i <= N_DRAW; i++) { const t = (i / N_DRAW) * T_SHOW; analogPts.push({ t, y: signal(t) }); } // --- 3. Rekonstruktion (Sinc-Interpolation) --- const reconPts = []; for (let i = 0; i <= N_DRAW; i++) { const t = (i / N_DRAW) * T_SHOW; reconPts.push({ t, y: reconstruct(t, samples, fs) }); } // --- 4. Panel 1: Original --- plotOrig.clear(); plotOrig.drawLine(analogPts, '#47ABE8', 2.2); // --- 5. Panel 2: Samples (analog + stems) --- plotSamp.clear(); plotSamp.drawLine(analogPts, '#47ABE8', 1.5); // leicht gedämpft im Hintergrund plotSamp.drawStems(samples, '#FE756C'); // --- 6. Panel 3: Rekonstruktion --- const nyquistOk = fs >= 2 * F_SIG; const reconColor = nyquistOk ? '#3BB583' : '#FE756C'; plotRecon.clear(); // Original als gestrichelte Referenz const ctx = plotRecon.ctx; ctx.save(); ctx.setLineDash([5, 5]); plotRecon.drawLine(analogPts, '#47ABE8', 1.2); ctx.setLineDash([]); ctx.restore(); // Rekonstruiertes Signal plotRecon.drawLine(reconPts, reconColor, 2.2); // --- 7. UI-Updates --- updateUI(fs, nyquistOk); } function updateUI(fs, ok) { const infoBox = document.getElementById('infoBox'); const ratio = (fs / F_SIG).toFixed(2); const fAlias = Math.abs(fs - F_SIG).toFixed(2); // Aliasing-Frequenz (vereinfacht) if (ok) { infoBox.style.borderLeftColor = '#1565c0'; infoBox.style.background = '#DAEEFA'; infoBox.innerHTML = `✓ Nyquist-Bedingung erfüllt: ` + `f<sub>s</sub> = ${fs.toFixed(2)} kHz ≥ 2 · ${F_SIG} kHz = ${(2*F_SIG).toFixed(2)} kHz. ` + `Das rekonstruierte Signal stimmt mit dem Original überein.`; } else { infoBox.style.borderLeftColor = '#c62828'; infoBox.style.background = '#FFE3E2'; infoBox.innerHTML = `⚠ Aliasing: f<sub>s</sub> = ${fs.toFixed(2)} kHz < 2 · ${F_SIG} kHz. ` + `Das rekonstruierte Signal erscheint mit Aliasing-Frequenz ` + `f<sub>Alias</sub> = |f<sub>s</sub> − f<sub>Signal</sub>| ≈ ${fAlias} kHz. ` + `Erhöhe die Abtastrate über ${(2*F_SIG).toFixed(1)} kHz, um das Signal korrekt darzustellen.`; } } // ============================================================ // Event-Listener & Init // ============================================================ const slider = document.getElementById('sliderFs'); const labelFs = document.getElementById('labelFs'); slider.addEventListener('input', () => { const fs = parseFloat(slider.value); labelFs.textContent = fs.toFixed(2) + ' kHz'; render(fs); }); function onResize() { if (!plotOrig || !plotSamp || !plotRecon) return; plotOrig.resize(); plotSamp.resize(); plotRecon.resize(); render(parseFloat(slider.value)); } window.addEventListener('resize', onResize); // Erst nach dem Laden initialisieren, wenn Canvas-Dimensionen bekannt sind window.addEventListener('load', () => { initPlots(); const fs = parseFloat(slider.value); labelFs.textContent = fs.toFixed(2) + ' kHz'; render(fs); }); </script>